(при надлежащем упорядочении). Чаще всего понятие ортонормированного базиса применяют в невырожденном случае, когда векторов e_i с g(e_i, e_i) = 0 нет. Следующая простая, но важная формула позволяет явно написать коэффициенты разложения любого вектора по ортогональному базису (в невырожденном случае):

Действительно, скалярные произведения левой и правой части со всеми e_i совпадают, а из невырожденности следует, что если g(e, e_i) = g(e', e_i) для всех i, то e = e', т. к. e - e' лежит в ядре формы g.

В симплектическом пространстве ортогональный базис, очевидно, может существовать, только если g = 0. Теорема п. 3 обеспечивает, однако, существование симплектического базиса {e₁, e₂, ..., e_r; e_r+1, ..., e_2r; e_2r+1, ..., e_n, который характеризуется тем, что

g(e_i, e_r+i) = - g(e_r+i, e_i) = 1, i = 1, ..., r,

а все остальные попарные скалярные произведения равны нулю. Действительно, следует разложить L в ортогональную прямую сумму двумерных невырожденных подпространств , и одномерных вырожденных , и в качестве {e_i, e_r+i для взять базис L_i, построенный в п. 10, а в качестве e_j для взять любой ненулевой вектор из L_j.

Матрица Грама симплектического базиса имеет вид

Ранг симплектической формы, по теореме п. 5, равен 2r. В частности, невырожденное симплектическое пространство обязательно четномерно.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-