Подмножество называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре (конечного радиуса).

Последовательность точек x₁, x₂, ..., x_n, ... в E сходится к точке , если . Последовательность называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если для всякого существует , такое, что при .

Метрическое пространство E называется полным, если любая последовательность Коши в нем сходится. Из полноты R и C, доказываемой в анализе, следует, что пространства Rⁿ и Cⁿ с любой из метрик d, d₁, d₂ примера б) п. 2 полны.

4. Нормированные линейные пространства. Пусть теперь L - линейное пространство над R или C. Особо важную роль играют метрики на L, которые удовлетворяют двум условиям:

а) d(l₁, l₂) = d(l₁ + l, l₂ + l) для любых (инвариантность относительно сдвига);

б) d(al₁, al₂) = |a|d(l₁, l₂) (умножение на скаляр a увеличивает расстояния в |a| раз).

Пусть d - такая метрика. Назовем нормой вектора l (относительно d) и будем обозначать через число d(l, 0). Из аксиом метрики (п. 2) и условий а), б) вытекают следующие свойства нормы:

, если ;

для всех ;

для всех .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-