7. Теорема. Любые две нормы и на конечномерном пространстве L эквивалентны в том смысле, что существуют положительные константы с условием

для всех . В частности, топологии, т. е. понятия сходимости, отвечающие любым двум нормам совпадают, и все конечномерные нормированные пространства банаховы.

Доказательство. Выберем базис в L и рассмотрим естественную норму относительно координат в этом базисе. Достаточно проверить, что любая норма эквивалентна этой. Ее ограничение на единичную сферу нормы является неприрывной функцией координат , принимающей лишь положительные значения (непрерывность следует из неравенства треугольника).

Следовательно, эта функция отграничена от нуля константой c > 0 и ограничена константой c' > 0 по теореме Больцано-Вейерштрасса (единичная сфера S для замкнута и ограничена). Из неравентсва для всех следует неравенство для всех . Поскольку L полно в топологии, отвечающей норме , и понятия сходимости для эквивалентных норм совпадают, L полно в любой норме.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-