Будем называть кругами (соответственно окружностями) в одномерном пространстве L шары (соответственно сферы) ненулевого радиуса с центром в нуле относительно любой из норм. Как следует из предыдущего рассуждения, множества всех кругов и окружностей в L не зависят от выбора исходной нормы. Вместо задания любой нормы можно указать ее единичный круг B или единичную окружность S: S восстанавливается по B как граница B, а B восстанавливается по S как множество точек вида . Заметим, что при = R круги суть отрезки с центром в нуле, а окружности - пары точек, симметричные относительно нуля.

Чтобы перенести это описание на пространства любой размерности, необходимо ввести понятие выпуклости. Подмножество называется выпуклым, если для любых двух векторов и для любого числа вектор al₁ + (1 - a)l₂ лежит в E. Это согласуется с обычным определением выпуклости в R² и R³: вместе с любыми двумя точками ("концами векторов l₁ и l₂") множество E должно содержать весь соединяющий их отрезок ("концы векторов al₁ + (1 - a)l₂").

Пусть - некоторая норма на L. Положим . Ограничение на любое линейное пространство индуцирует норму на L₀. Отсюда следует, что для любого одномерного пространства множество является кругом в L₀, а множество - окружностью в смысле данного выше определения. Кроме того, из неравенства треугольника следует, что если , , то

т. е. , так что B - выпуклое множество.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-