Первые два свойства очевидны, третье проверяется так: .

Линейное пространство L, снабженное функцией нормы , удовлетворяющей перечисленным трем условиям, называется нормированным.

Наоборот, по норме восстанавливается метрика: положив , легко проверить аксиомы метрики. Для нее .

Полное нормированное линейное пространство называется банаховым пространством. Пространства Rⁿ и Cⁿ с любыми нормами, отвечающими метрикам из п. 2, банаховы.

Общее понятие сходимости последовательности в метрическом пространстве, данное в п. 3, специализируется на случай нормированных линейных пространств и называется сходимостью по норме. Линейная структура позволяет определить понятие сходимость ряда, более сильное, чем сходимость по норме его частичных сумм. Именно, ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

5. Норма и выпуклость. Нетрудно описать все нормы на одномерном пространстве L: любые две из них отличаются друг от друга умножением на положительную константу. В самом деле, пусть - ненулевой вектор, - две нормы. Если , то для всех .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-