8. Норма линейного оператора. Пусть L, M - нормированные линейные пространства над одним и тем же полем R или C.

Рассмотрим линейное отображение . Оно называется ограниченным, если существует такое вещественное число , что для всех выполнено неравенство (левая норма - в M, правая - в L). Обозначим через множество ограниченных линейных операторов. Для каждого обозначим через нижнюю грань всех N, для которых выполняется неравенство , .

9. Теорема. а) является нормированным линейным пространством относительно функции , которая называется индуцированной нормой.

б) Если L конечномерно, то , т. е. любое линейное отображение ограничено.

Доказательство. а) Пусть . Если и для всех l, то

Поэтому f + g и af ограничены и, более того, переходя к нижним граням, имеем

Если = 0, то для любого . Значит, , так что f = 0.

в) На единичной сфере в L отображение является непрерывной функцией. Так как эта сфера ограничена и замкнута, эта функция ограничена и, более того, верхняя грань ее значений достигается. Поэтому на сфере , так что для всех .

Попутно обнаружили, что единичная сфера в .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-