Справедлива и обратная теорема:

6. Теорема. Пусть - множество, удовлетворяющее двум условиям:

а) Пересечение с любым одномерным подпространством L₀ является окружностью.

б) Множество выпукло.

Тогда на L существует единственная норма , для которой B является единичным шаром, а S - единичной сферой.

Доказательство. Обозначим через функцию, которая на каждом одномерном подпространстве L₀ является нормой с единичной сферой . Ясно, что такая функция существует и единственна, и нуждается в проверке лишь неравенство треугольника для нее. Пусть . Применим условие выпуклости B к векторам и .

Получим

откуда

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-