Аффинные подпространства

1. Определение. Пусть (A, L) - некоторое аффинное пространство. Подмножество называется аффинным подпространством в A, если оно пусто или если множество

является линейным подпространством в L и для всех .

2. Замечания. а) Если выполнены требования определения и B непусто, то пара (B, M) образует аффинное пространство, что оправдывает терминологию (подразумевается, что сдвиг B посредством вектора из M получается ограничением на B этого же сдвига на всем A). В самом деле, просмотр условий в определении п. 1 сразу же показывает, что они выполнены для (B, M). В частности, выбрав любую точку , получаем .

б) Будем называть линейное подпространство направляющим для аффинного подпространства B. Размерностью B называется размерность M. Очевидно, из следует, что и, значит, . Назовем два аффинных подпространства одинаковой размерности с общим направляющим пространством параллельными.

3. Предложение. Аффинные подпространства одинаковой размерности параллельны тогда и только тогда, когда существует такой вектор , что B₂ = t_l(B₁). Любые два вектора с таким свойством отличаются на вектор из направляющего пространства для B₁ и B₂.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-