Аффинные пространства, аффинные отображения и аффинные координаты

1. Определение. Аффинным пространством над полем называется тройка (A, L, +), состоящая из линейного пространства L над полем , множества A, элементы которого называются точками, и внешней бинарной операции , удовлетворяющей следующим аксиомам:

а) (a + l) + m = a + (l + m) для всех ;

б) a + 0 = a для всех ;

в) для любых двух точек существует единственный вектор со свойством b = a + l.

2. Пример. Тройка (L, L, +), где L - линейное пространство, а + совпадает со сложением в L, является аффинным пространством. Удобно говорить, что она задает аффинную структуру линейного пространства L.

3. Термины. Часто будем называть аффинным пространством пару (A, L) или даже просто A, опуская указания на +. Линейное пространство L называется ассоциированным с аффинным пространством A. Отображение называется сдвигом на вектор l; удобно иметь для него специальное обозначение t_l. Мы пишем a - l вместо t_-l(a) или a + (-l).

4. Предложение. Отображение определяет инъективный гомоморфизм аддитивной группы пространства L в группу перестановок точек аффинного пространства A, т. е. эффективное действие L на A. Это действие транзитивно, т. е. для любой пары точек, существует с t_l(a) = b.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-