6. Правила вычислений. Тот единственный вектор , для которого b = a + l, удобно обозначать b - a. Эта операция "внешнего вычитания" обладает следующими свойствами:

а) (c - b) + (b - a) = c - a для всех ; сложение слева - это сложение в L.

Действительно, пусть c = b + l, b = a + m; тогда c = a + (l + m), так что c - a = l + m = (c - b) + (b - a).

б) a - a = 0 для всех .

в) (a + l) - (b + m) = (a - b) + (l - m) для всех .

В самом деле, достаточно проверить, что (b + m) + (a - b) + (l - m) = a + l, или b + (a - b) = a, а это - определение a - b.

Вообще, употребление знаков для различных операций подчиняется следующим формальным правилам. Выражение для имеет смысл, если либо m четно и все можно объединить в пары вида a_i - a_j, либо m нечетно, и все точки можно объединить в такие пары, кроме одной, входящей со знаком +. В первом случае вся сумма лежит в L, во втором - в A. Кроме того, она зависит от своих слагаемых коммутативно и ассоциативно: например, a₁ - a₂ + l можно вычислять как (a₁ - a₂) + l или (a₁ + l) - a₂ или a₁ - (a₂ - l); позволим себе писать a + l, так же как l + a.

Доказывать это правило в общем виде мы не станем. Всякий раз, когда мы будем им пользоваться, вы без труда разобъете нужную выкладку на серию элементарных шагов, каждый из которых сведется к применению одной аксиомы или формулы а) - в) начала этого пункта.

Заметим, что сумма a + b, где , вообще говоря, смысла не имеет, так же как и выражение xa, где (исключение: A = L). Тем не менее ниже мы придадим однозначный смысл, например, выражению (но не его слагаемым!).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-