13. Следствие. Пусть - два аффинных отображения. Их линейные части совпадают тогда и только тогда, когда f₂ есть композиция f₁ со сдвигом на некоторый вектор из L₂, который определяется однозначно.

Доказательство. Достаточность условия была проверена в примере в) п. 8. Для доказательства необходимости выберем любую точку и положим . Очевидно, и . По предложению п. 11 . Наоборот, если , то l = f₂(a) - f₁(a); этот вектор не зависит от из-за совпадения линейных частей f₁, f₂.

14. Аффинные координаты. а) Система аффинных координат в аффинном пространстве (A, L) есть пара, состоящая из точки (начала коодинат) и базиса {e₁, ..., e_n} ассоциированного линейного пространства L. Координаты точки в этой системе образуют вектор , однозначно определяемый условием .

Иначе говоря, отождествим A с L посредством отображения с тождественной линейной частью, переводящего a₀ в 0, и возьмем координаты образа точки a в базисе {e₁, ..., e_n}: это и будут x₁, ..., x_n.

Пусть в пространствах A₁, A₂ выбраны системы координат, отождествляющие их с соответственно. Тогда любое аффинно линейное отображение можно записать в виде

где B - матрица отображения Df в соответствующих базисах L₁, L₂, а - координаты вектора в базисе L₂; - начало координат в A₁, - начало координат в A₂. Действительно, отображение аффинно линейно, переводит в и имеет ту же линейную часть, что и f.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-