б) Другой вариант данного определения системы координат состоит в том, чтобы заменить векторы {e₁, ..., e_n} точками {e₀ + e₁, ..., a₀ + e_n} в A. Положим a_i = a₀ + e_i, i = 1, ..., n. Координаты точки находятся тогда из представления . Возникает соблазн "привести подобные члены" и написать выражение справа в виде . Отдельные члены в этой сумме не имеют смысла! Тем не менее оказывается, что суммы такого вида можно рассматривать, и они весьма полезны.

15. Предложение. Пусть a₀, ..., a_s - любые точки аффинного пространства A. Для любых с условием определим формальную сумму выражением вида

где a - любая точка A. Утверждается, что выражение справа не зависит от a. Поэтому точка определена корректно. Она называется барицентрической комбинацией точек a₀, ..., a_s с коэффициентами y₀, ..., y_s.

Доказательство. Заменим точку a на точку . Получим

т. к. . Мы пользовались здесь правилами, сформулированными в п. 6.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-