Интуитивно аффинное пространство (A, L, +) следует представлять себе как линейное пространство L с "забытым" началом координат 0. Оставлена лишь операция сдвига на векторы L, суммирования сдвигов и умножения вектора сдвига на скаляр.

7. Аффинные отображения. Пусть (A₁, L₁), (A₂, L₂) - два аффинных пространства над одним и тем же полем . Аффинно линейным, или просто аффинным, отображением первого во второе называется пара (f, Df), где , удовлетворяющая следующим условиям:

а) Df - линейное отображение.

б) Для любых имеем

f(a₁) - f(a₂) = Df(a₁ - a₂).

(Оба выражения лежат в L₂.)

Df (или D(f)) называется линейной частью аффинного отображения f. Поскольку a₁ - a₂ пробегает все векторы L₁, когда , линейная часть Df определяется по f однозначно. Это позволяет обозначить аффинные отображения просто .

8. Примеры. а) Любое линейное отображение индуцирует аффинно линейное отображение пространств . Для него Df = f.

б) Любой сдвиг аффинно линеен и D(t₁) = id_L. Действительно,

t_l(a₁) - t_l(a₂) = (a₁ + l) - (a₂ + l) = a₁ - a₂.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-