16. Следствие. Система {a₀; a₁ - a₀, ..., a_n - a₀}, состоящая из точки и векторов a_i - a₀ в L, образует систему аффинных координат в A тогда и только тогда, когда любая точка A однозначно представима в виде барицентрической комбинации .

Когда это условие выполнено, система точек {a₀, ..., a_n} называется барицентрической системой координат в A, а числа x₀, ..., x_n - барицентрическими координатами точки .

Доказательство. Все непосредственно следует из определений, если вычислять по формуле . Действительно, так как любая точка A однозначно представляется в виде , система {a₀, a₁ - a₀, ..., a_n - a₀} является аффинной системой координат в A тогда и только тогда, когда всякий вектор однозначно представляется в виде линейной комбинации , т. е. если {a₁ - a₀, ..., a_n - a₀} образуют базис L. По координатам x₁, ..., x_n вектора l барицентрические координаты точки a₀ + l восстанавливаются однозначно в виде .

17. С барицентрическими комбинациями можно во многом обращаться так же, как с обычными линейными комбинациями в линейном пространстве. Например, слагаемые с нулевыми коэффициентами можно выбрасывать. Наиболее полезное замечание состоит в том, что барицентрическая комбинация нескольких барицентрических комбинаций точек a₀, ..., a_s в свою очередь является барицентрической комбинацией этих точек, коэффициенты которой можно вычислять по ожидаемому формальному правилу:

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-