Любые две барицентрические комбинации точек S можно представить в виде с одним и тем же множеством {s₁, ..., s_n}, взяв объединение двух исходных множеств и положив лишние коэффициенты равными нулю. Поскольку , разность этих комбинаций можно представить в виде

и потому она лежит в M. Наоборот, любой элемент из M вида есть разность точек и из . Поэтому . Это же соображение показывает, что для всех . Следовательно, является аффинным подпространством с направляющим пространством M. Ясно, что .

Наоборот, пусть - любое аффинное подпространство, . Тогда для любых , имеем

Поскольку , вектор лежит в направляющем пространстве B и потому сдвиг s₁ на него лежит в B. Значит, и действительно является наименьшим аффинным подпространством, содержащим S.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-