Если и , наложим на g дополнительные условия. Выберем по точке и потребуем, чтобы g переводил вектор b - a в вектор b' - a'. Оба вектора ненулевые и лежат вне M, M' соответственно, поэтому стандартная конструкция, исходящая из базисов L вида {базис M, b - a, дополнение} и {базис M', b' - a', дополнение}, показывает существование g. После этого снова построим аффинное отображение с Df = g и f(b) = b'. Проверим, что f(B) = B. В самом деле, прежде всего, f(a) = a', потому что

f(a) = f(b - (b - a)) = f(b) - g(b - a) = b' - (b' - a') = a'.

Далее, f(a + l) = f(a) + g(l), и условие равносильно условию , так что f(B) = B'.

б) Необходимость условия снова очевидна. Для доказательства достаточности подчиним выборы, сделанные в предыдущем рассуждении, дополнительным требованиям. Прежде всего, отождествим A с L, выбрав начало координат в B. Тогда B отождествится с M, b станет некоторым вектором в L. Пусть a - ортогональная проекция b на M. В линейном варианте мы уже знаем, что d(b, B) = |b - a|. Аналогично определим точку a' на M' или в нашем отождествлении на B'. В качестве g возьмем изометрию L, переводящую M в M' и b в b'. Она существует: дополним ортонормированные базисы в M и M' соответственно до ортонормированных базисов в L, содержащих (b - a)/|b - a| и (b' - a')/|b - a|, и определим g как изометрию, переводящую первый базис во второй. После этого аффинное отображение с Df = g и f(b) = b' будет движением, переводящим (b, B) в (b', B').

16. Рассмотрим, наконец, конфигурации, состоящие из двух подпространств B₁, B₂. Полная классификация их с точностью до аффинной конгруэнтности может быть проведена с помощью соответствующего результата для линейных подпространств, доказанного в п. 5. Полная метрическая классификация довольно громоздка: она требует рассмотрения расстояния между B₁ и B₂ и серии углов.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-