Пусть {b₁, b₂} и - два общих перпендикуляра. Тогда и, кроме того,

Значит, разность , лежит одновременно в M₁ + M₂ и . Поэтому она равна нулю. Следовательно, . Наоборот, если {b₁, b₂} - фиксированный общий перпендикуляр и , то {b₁ + m, b₂ + m} тоже является общим перпендикуляром. Это завершает доказательство первой части предложения.

б) Пусть {b₁, b₂} - общий перпендикуляр к B₁, B₂ и - любая другая пара точек. Достаточно доказать, что . В самом деле,

Но , а вектор b₁ - b₂ ортогонален M₁ + M₂. Значит, по теореме Пифагора

что завершает доказательство.

Установим в заключение один полезный результат, характеризующий аффинные подпространства.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-