12. Предложение. Пусть f₁, ..., f_n - аффинно линейные функции на аффинном пространстве A. Тогда множество является аффинным подпространством в A. Если A конечномерно, то всякое его аффинное подпространство имеет такой вид.

Доказательство. Указанное множество является конечным пересечением множеств уровня аффинно линейных функций. Поэтому оно аффинное в силу следствия п. 11 и предложения п. 7. Наоборот, пусть - аффинное подпространство в конечномерном аффинном пространстве - соответствующие линейные пространства. Если B пусто, его можно задать уравнением f = 0, где f - постоянная функция на A с ненулевым значением (очевидно, любая такая функция аффинно линейна, Df = 0). Иначе, пусть g₁ = ... = g_n = 0 - система линейных уравнений на L, задающая M; в качестве g₁, ..., g_n можно взять, например, базис подпространства . Выберем точку и построим аффинно линейные функции с условиями f_i(b) = 0, Df_i = g_i, i = 1, ..., n. Очевидно, f_i(b + l) = g_l(l). Поэтому точка обращает в нуль все функции f_i тогда и только тогда, когда , т. е. тогда и только тогда, когда . Это завершает доказательство.

13. Назовем конфигурацией в аффинном пространстве A конечную упорядоченную систему аффинных подпространств {B₁, ..., B_n}. Две конфигурации {B₁, ..., B_n} и назовем аффинно конгруэнтными, если существует такой аффинный автоморфизм , что . Возможны варианты этого понятия, когда f разрешается выбирать лишь из некоторой подгруппы Aff A, например, группы движений, когда A евклидово. В последнем случае будем называть конфигурации метрически конгруэнтными. Важные понятия и результаты аффинной геометрии связаны с отысканием инвариантов конфигураций относительно отношения конгруэнтности. Заметим, что оно является аффинным вариантом понятия "одинаковой расположенности" (см. Подпространства и прямые суммы).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-