б) В силу доказанного выше достаточно проверить, что f является движением тогда и только тогда, когда для всех i, j. В самом деле, d(a_i, a_j) = |a_i - a_j| = |e_i - e_j|, где e₀ = a₀ - a₀ = 0, и аналогично . Если f - движение, то Df ортогонально и сохраняет длины векторов, так что условие необходимо. Наоборот, пусть оно выполнено. Тогда для всех i = 1, ..., n и далее из равенств получаем, что для всех i, j. Значит, матрицы Грама базисов {e_i} и совпадают. Но тогда отображение g, переводящее {e_i} в , является изометрией, так что f является движением. Доказательство окончено.

Рассмотрим теперь конфигурации (b, B), состоящие из точки и аффинного подпространства. В евклидовом случае назовем расстоянием от b до B число

15. Предложение. а) Конфигурации (b, B) и (b', B') аффинно конгруэнтны тогда и только тогда, когда dim B = dim B' и либо одновременно , либо одновременно .

б) Конфигурации (b, B) и (b', B') метрически конгруэнтны тогда и только тогда, когда dim B = dim B' и d(b, B) = d(b', B').

Доказательство. а) Сформулированные условия, очевидно, необходимы. Пусть они выполнены. Обозначим через M, M' направляющие B, B' соответственно и выберем линейный автоморфизм , для которого g(M) = M'. Если и , построим аффинное отображение с условиями Df = g и f(b) = b'. Очевидно, f(b + l) = b' + g(l), так что f(B) = B'.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-