Доказательство. Если B₂ = t_l(B₁) и M₂, M₁ - направляющие B₂ и B₁ соответственно, то

так что B₁ и B₂ параллельны.

Наоборот, пусть M - общее направляющее для B₁ и B₂. Выберем точки и . Имеем , откуда . Наконец, легко видеть, что тогда и только тогда, когда .

4. Следствие. Аффинные подпространства в L (с аффинной структурой) - это линейные подмногообразия L в смысле определения п. 1, т. е. сдвиги линейных подпространств.

5. Следствие. Параллельные аффинные подпространства одинаковой размерности либо не пересекаются, либо совпадают.

Доказательство. Если , то по предыдущему , где M - общее направляющее B₁ и B₂.

6. Аффинные подпространства B₁ и B₂ не обязательно одинаковой размерности называются параллельными, если одно из их направляющих содержится в другом. Слегка изменяя предыдущие доказательства, легко получить следующие факты. Пусть B₁ и B₂ параллельны и . Тогда существует такой вектор , что , и два вектора с этим свойством отличаются на элемент из M₁. Кроме того, либо B₁ и B₂ не пересекаются, либо B₁ содержится в B₂.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-