Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
• Линейные пространства и линейные отображения
• Геометрия пространств со скалярным произведением
• Аффинная и проективная геометрия
Линейные пространства и линейные отображения / Факторпространства / 1 2 3 4 5 6
Факторпространства1. Пусть L - линейное пространство,
"сдвигов" линейного пространства M на вектор l. Вскоре мы убедимся, что такие сдвиги не обязаны быть линейными подпространствами в L; их называют линейными подмногообразиями. Начнем с доказательства следующей леммы. 2. Лемма. l1 + M1 = l2 + M2 тогда и только тогда, когда M1 = M2 = M и Доказательство. Прежде всего, пусть
Но когда m пробегает все векторы из M, m - m0 тоже пробегает все векторы из M. Поэтому l1 + M = l2 + M. Наоборот, пусть l1 + M1 = l2 + M2. Положим m0 = l1 + l2. Из определения ясно, что тогда m0 + M1 = M2. Так как |
- его линейное подпространство, а 
- вектор. Различные вопросы приводят к рассмотрению множеств вида
. Таким образом, всякое линейное подмногообразие однозначно определяет линейное подпространство M, сдвигом которого оно является. Вектор же сдвига определяется лишь с точностью до элемента из этого подпространства.
, мы должны иметь 
. Значит, m0 + M1 = M1 по рассуждению в предыдущем абзаце, так что M1 = M2 = M. Это завершает доказательство.