Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
• Линейные пространства и линейные отображения
• Геометрия пространств со скалярным произведением
• Аффинная и проективная геометрия
|
Линейные пространства и линейные отображения / Факторпространства / 1 2 3 4 5 6
Таким образом, сложение и умножение на скаляр действительно однозначно определены в L/M. Остается проверить аксиомы линейного пространства. Но они сразу же следуют из соответствующих формул в L. Например, одна из формул дистрибутивности проверяется так: a[(l1 + M) + (l2 + M)] = a((l1 + l2) + M) = a(l1 + l2) + M = = al1 + al2 + M = (al1 + M) + (al2 + M) = a(l1 + M) + a(l2 + M). Здесь последовательно используются: определение сложения в L/M, определение умножения на скаляр в L/M, дистрибутивность в L и снова определение сложения и умножения на скаляр в L/M. 5. Замечания. а) Из определения видно, что аддитивная группа L/M совпадает с факторгруппой аддитивной группы L по аддитивной группе M. В частности, подмногообразие б) Имеется каноническое отображение
Заметим, что в этой цепочке равенств l0 + M первый раз рассматривается как элемент множества L/M, а остальные - как подмножества в L. Из п. 4 ясно, что f - линейное отображение, а лемма п. 2 показывает, что Ker f = M, т. к. l0 + M = M тогда и только тогда, когда |
является нулем в L/M.
: f(l) = l + M. Оно сюръективно, а его слои - прообразы элементов - суть как раз подмногообразия, отвечающие этим элементам. Действительно, по лемме п. 2
.