8. Предложение. Для существования h необходимо и достаточно, чтобы Ker f Ker g; если это условие выполнено и Im f = M, то h единствен.

Доказательство. Если h существует, из g = hf следует, что g(l) = hf(l) = 0, коль скоро f(l) = 0. Поэтому Ker f Ker g.

Наоборот, пусть Ker f Ker g. Построим сначала h на подпространстве . Единственная возможность состоит в том, чтобы положить h(m) = g(l), если m = f(l). Нужно проверить, что h определено однозначно и линейно на Im f. Первое следует из того, что если m = f(l₁) = f(l₂), то Ker f Ker g, откуда g(l₁) = g(l₂). Второе следует автоматически из линейности f и g.

Теперь достаточно продолжить отображение h с подпространства на все пространство M, например, выбрав базис Im f, дополнив его до базиса M и положив h равным нулю на дополняющих векторах.

9. Пусть - линейное отображение. Мы уже определили ядро и образ g; дополним это определение, положив

кообраз g: Coim g = L/Ker g,

коядро g: Coker g = M/Im g.

Имеется цепочка линейных отображений, "разбирающая g на части",

-1-2-3-4-5-6-