где все отображения, кроме h, - канонические вложения и факторизация, а h - единственное отображение, делающее коммутативной диаграмму

Оно определено однозначно, потому что Ker c = Ker g, и является изоморфизмом, потому что обратное отображение тоже существует и определено однозначно.

Смысл объединения этих пространств в пары (с приставкой "ко" и без нее) объясняется в теории двойственности.

10. Конечномерная альтернатива Фредгольма. Пусть - линейное отображение. Число

ind g = dim Coker g - dim Ker g

называется индексом оператора g. Из предыдущего пункта следует, что если L и M конечномерны, то индекс g зависит только от L и M:

ind g = (dim M - dim Im g) - (dim L - dim Im g) = dim M - dim L.

В частности, если dim M = dim L, например, если g - линейный оператор на L, то ind g = 0 для любого g. Отсюда вытекает так называемая альтернатива Фредгольма:

либо уравнение g(x) = y разрешимо для всех y, и тогда уравнение g(x) = 0 имеет лишь нулевые решения;

либо это уравнение разрешимо не для всех y, и тогда однородное уравнение g(x) = 0 имеет ненулевые решения.

Точнее, если ind g = 0, то размерность пространства решений однородного уравнения равна коразмерности пространства правых частей, при которых разрешимо неоднородное уравнение.

-1-2-3-4-5-6-