Примеры и задачи с решениями: действительные числа.

   Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика

Примеры решения задач / Введение в анализ / Действительные числа / 1 2

Примеры задач с решениями

Доказать, что в множестве R имеются единственные нуль и единица.

Доказать, что: a) уравнение a + x = b имеет единственное решение x = -a + b; б) уравнение ax = b имеет единственное решение x = -a^-1b.

Элемент называется регулярным относительно внутренней бинарной операции , если Доказать, что всякий элемент регулярен относительно сложения, а всякий ненулевой элемент регулярен относительно умножения.

Обозначим E = {f} - множество функций . Пусть на этом множестве определена внутренняя бинарная операция . a) Показать, что эта операция ассоциативна. б) Определить регулярные элементы этой операции.

Доказать, что всякое ограниченное снизу множество имеет точную нижнюю грань, причем inf A = - sup{-A}, где -A = {-x}, .

Доказать теорему Архимеда: если a > 0 и b - произвольное действительное число, то существует такое , то .

Доказать, что для произвольно заданного положительного числа ε существует такое натуральное число n, что 1/n < ε.

Пусть α и β - произвольно заданные действительные числа, причем α < β. Доказать, что существует рациональное число r, заключенное между числами α и β.

Показать, что множество всех правильных рациональных дробей m/n, где m и n - натуральные числа и 0 < m < n, не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани этого множества.

Пусть {x + y} есть множество всех сумм x + y, где и . Доказать равенство inf{x + y} = inf{x} + inf{y}.

Пусть {xy} есть множество всех произведений xy, где , , причем x ≥0, y ≥ 0. Доказать равенство sup{xy} = sup{x}sup{y}.

Пусть . Доказать, что inf X = 0, supX = 1.

Доказать неравенства: а) |x - y| ≥ ||x| - |y||; б) |x + x₁ + x₂ + ... + x_n| ≥ |x| - (|x₁| + |x₂| + ... + |x_n|).

-1-2-

© 2006-2024 ПМ298

Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, интеграл , тензор , матанализ , симметрия

Примеры и задачи с решениями: действительные числа.