решения других задач по данной теме

Обозначим E = {f} - множество функций . Пусть на этом множестве определена внутренняя бинарная операция .
          a) Показать, что эта операция ассоциативна.
          б) Определить регулярные элементы этой операции.

Решение.

а) Для доказательства равенства достаточно показать, что образы любого элемента совпадают. Пусть . Имеем

следовательно, , т. е. образы элементов x совпадают и ассоциативность доказана.

б) Отображение f назовем регулярным слева, если , и регулярным справа, если . Ясно, что отображение регулярно, если оно регулярно слева и справа.

Покажем сначала, что отображение f регулярно слева тогда и только тогда, когда оно инъективно.

В самом деле, если f инъективно и , то для любого

Если же f не инъективно, то на множестве A существуют различные числа x и y, образы которых совпадают: f(x) = f(y). Выберем отображения g и h такими, чтобы g(a) = x, h(a) = y для некоторого . Поскольку , то из не следует равенство g = h, т. е. f не будет регулярным слева.

Покажем теперь, что f регулярно справа тогда и только тогда, когда функция f сюръективна.

Если f сюръективна, то существует такое , что f(u) = x. Тогда

Если же f не сюръективно, то для тех отображений g и h, сужения которых совпадают на множестве f(A). Однако отображения g и h могут быть различны, поскольку могут принимать различные значения на множестве A \ f(A).

Таким образом, для того чтобы отображение f было регулярно, необходимо и достаточно, чтобы оно было биективным.

решения других задач по данной теме