Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Введение в анализ / Действительные числа
решения других задач по данной теме Показать, что множество всех правильных рациональных дробей m/n, где m и n - натуральные числа и 0 < m < n, не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани этого множества. Решение. Пусть m и n (0 < m < n) - любые натуральные числа. Тогда из очевидных неравенств
следует, что множество правильных рациональных дробей не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Покажем, что inf{m/n} = 0, а sup{m/n} = 1. Согласно теореме Архимеда (см. задачу), для произвольно заданных ε > 0 и решения других задач по данной теме |
найдется такое 
, что n > m/ε. Тогда m/n < ε. Отсюда и из неравенства m/n > 0 следует, что inf{m/n} = 0. Аналогично для произвольно заданных ε > 0 и 
найдется такое натуральное число m, что 
. Отсюда 
, т. е. при n = p + m имеем m/n > 1 - ε, а это вместе с неравенством m/n < 1 означает, что sup{m/n} = 1.