Псевдоевклидовы движения. Примеры теорем псевдоевклидовой геометрии. Преобразования псевдоевклидовой плоскости, сохраняющие (псевдоевклидовы) расстояния между точками, называются (псевдоевклидовыми) движениями. Ясно, что каждый параллельный перенос является псевдоевклидовым движением, - ведь если отрезки AB и A'B' получаются один из другого параллельным переносом, то их псевдоевклидовы длины равны.

     Наряду с этим псевдоевклидовыми движениями являются "псевдоевклидовы повороты", т. е. преобразования, переводящие точку (x, y) в точку (x', y') по формулам:

x' = x ch ψ + y sh ψ,     y' = x sh ψ + y ch ψ.     (7)

Это преобразование оставляет на месте точку O; с другой стороны, поскольку

(см. (5)), то расстояние точки M от точки O при псевдоевклидовом повороте не меняется, т. е. каждая точка M плоскости двигается при этом преобразовании по (псевдоевклидовой) окружности с центром O (см. Рис. 6). Таким образом, с евклидовой точки зрения при преобразовании (7) каждая точка плоскости смещается по гиперболе, в связи с чем это преобразование часто называют гиперболическим поворотом.

     Наконец, псевдоевклидовым движением является также симметрия

x' = x,     y' = -y

относительно оси x (ясно, что при этом преобразовании расстояние (1'a) между двумя точками не меняется), а также симметрия относительно произвольной прямой l (см. Рис. 7), при которой каждая точка A переходит в такую точку A', что отрезок AA' перпендикулярен к l (в смысле псевдоевклидовой геометрии) и делится прямой l пополам.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-