решения некоторых задач

     Из свойств 1° - 6° вытекает следующая основная теорема.

     Теорема 1. Для того чтобы ограниченная на прямоугольнике R функция f(x, y) была интегрируема на этом прямоугольнике, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 нашлось такое разбиение T прямоугольника R, для которого S - s < ε.

     Данная теорема в соединении с теоремой о равномерной непрерывности функции позволяет выделить важнейшие классы интегрируемых функций.

     Теорема 2. Любая непрерывная в прямоугольнике R функция f(x, y) интегрируема на этом прямоугольнике.

     Назовем элементарной фигурой множество точек, представляющих собой сумму конечного числа прямоугольников (со сторонами, параллельными осям Ox и Oy)^*.

     Будем говорить, что функция f(x, y) обладает в прямоугольнике R (в произвольной замкнутой области D) I-свойством, если: 1) f(x, y) ограничена в прямоугольнике R (в области D); 2) для любого ε > 0 найдется элементарная фигура, содержащая все точки и линии разрыва функции f(x, y) и имеющая площадь, меньшую ε.

     Теорема 3. Если функция f(x, y) обладает в прямоугольнике R I-свойством, то она интегрируема на этом прямоугольнике.

     Доказательство теорем 2 и 3 полностью аналогично доказательству 2х теорем: об интегрируемости непрерывных функций и об интегрируемости разрывных функций.

     Определение и существование двойного интеграла для произвольной области

     В пункте Площадь плоской фигуры были введены понятия квадрируемости и площади плоской фигуры Q. Эти понятия без каких-либо изменений переносятся на случай произвольного ограниченного множества Q точек плоскости.

     Во всех определениях и утверждениях указанного пункта вместо фигуры Q можно брать произвольное ограниченное множество Q.

     В том же пункте было дано определение кривой (или границы фигуры) площади нуль: Г называется кривой площади нуль, если для любого ε > 0 найдется многоугольник, содержащий все точки Г и имеющий площадь, меньшую ε.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-

^*   Заметим, что сумма конечного числа совершенно произвольных прямоугольников (со сторонами, параллельными осям Ox и Oy) представима в виде суммы также конечного числа не имеющих общих внутренних точек прямоугольников (со сторонами, параллельными указанным осям). Поэтому в определении термина элементарной фигуры можно брать прямоугольники, как имеющие общие внутренние точки, так и не имеющие их.