Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы / Определение и существование двойного интеграла / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

решения некоторых задач

     Справедливы следующие утверждения (доказательства их полностью аналогичны доказательствам, приведенным в пункте Свойства верхних и нижних сумм).

     . Для любого фиксированного разбиения T и любого ε > 0 промежуточные точки (ξk, ηl) на частичных прямоугольниках Rkl можно выбрать так, что интегральная сумма σ будет удовлетворять неравенствам 0 ≤ S - σε.

     Точки (ξk, ηl) можно выбрать и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам 0 ≤ σ - sε.

     . Если разбиение T' прямоугольника R получено путем добавления новых прямых к прямым, производящим разбиение T, то верхняя сумма S' разбиения T' не больше верхней суммы S разбиения T, а нижняя сумма s' разбиения T' не меньше нижней суммы s разбиения T, т. е.

ss',     S'S.

     . Пусть T' и T" - любые два разбиения прямоугольника R. Тогда нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходит верхнюю сумму другого. Именно, если s', S' и s", S" - соответственно нижние и верхние суммы разбиений T' и T", то

s'S",     s"S'.

     . Множество {S} верхних сумм данной функции f(x, y) для всевозможных разбиений прямоугольника R ограничено снизу. Множество {s} нижних сумм ограничено сверху.

     Таким образом, существуют числа

называемые соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу (от функции f(x, y) по прямоугольнику R).

     Легко убедиться, что .

     . Пусть разбиение T' прямоугольника R получено из разбиения T добавлением к последнему p новых прямых, и пусть s', S' и s, S - соответственно нижние и верхние суммы разбиений T' и T.

     Тогда для разностей S - S' и s' - s может быть получена оценка, зависящая от максимального диаметра Δ частичного прямоугольника разбиения T, числа p добавленных прямых, точных граней M и m функций f(x, y) на прямоугольнике R и от диаметра d прямоугольника R.

     Именно

S - S' ≤ (M - m) · p · Δ · d,
s' - s ≤ (M - m) · p · Δ · d.

     . Верхний и нижний интегралы Дарбу и от функции f(x, y) по прямоугольнику R являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при Δ → 0*.


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   ___________________________________

*   Понятие предела верхних или нижних сумм определяется в полной аналогии с понятием предела интегральных сумм. Именно, число называется пределом верхних сумм S при Δ → 0, если для любого ε > 0 можно указать δ > 0 такое, что при Δ < δ.



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, параллелограмм , сочетания

     Двойные интегралы: свойства верхних и нижних сумм, верхние и нижние интегралы Дарбу.