Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы / Определение и существование двойного интеграла / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

решения некоторых задач

     Теорема 4. Если функция f(x, y) обладает в области D I-свойством, то она интегрируема в области D.

     Доказательство. для такой функции f(x, y) функция F(x, y), определенная формулой (2), будет обладать I-свойством в прямоугольнике R.

     В самом деле, функция F(x, y) ограничена в прямоугольнике R и все точки и линии разрыва этой функции либо совпадают с соответствующими разрывами f(x, y), либо лежат на границе Г области D. Поскольку Г имеет площадь нуль, теорема доказана.

     Следствие 1. Если функция f(x, y) ограничена в области D и имеет в этой области разрывы лишь на конечном числе спрямляемых линий, то f(x, y) интегрируема в области D.

     Следствие 2. Если функция f(x, y) интегрируема в области D, а g(x, y) ограничена и совпадает с f(x, y) всюду в D, за исключением множества точек площади нуль, то и g(x, y) интегрируема в области D.

     Определение двойного интеграла при помощи произвольных разбиений области

     Выше определили двойной интеграл, исходя из разбиения области прямыми линиями на конечное число частичных прямоугольников. В этом пункте сформулируем другое определение двойного интеграла, основанное на разбиении области D любыми кривыми площади нуль на конечное число частичных областей произвольного вида, и докажем, что это определение эквивалентно данному выше.

     Пусть D - замкнутая ограниченная область, имеющая границу Г площади нуль. Разобьем область D при помощи конечного числа произвольных кривых площади нуль на конечное число r (не обязательно связных!) замкнутых частичных областей D1, D2, ..., Dr.

     Заметим, что каждая область Di квадрируема, т. к. граница ее имеет площадь нуль (см. пункт Площадь плоской фигуры) и обозначим символом ΔDi площадь области Di.

     В каждой частичной области Di выберем произвольную точку Pi(ξi, ηi).

     Число

     (3)

называется интегральной суммой функции f(x, y), соответствующей данному разбиению области D на частичные области Di и данному выбору промежуточных точек Pi в частичных областях.


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-



© 2006- 2022  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, неравенство ,

     Определение двойного интеграла при помощи произвольных разбиений области.