решения некоторых задач

     Теорема 4. Если функция f(x, y) обладает в области D I-свойством, то она интегрируема в области D.

     Доказательство. для такой функции f(x, y) функция F(x, y), определенная формулой (2), будет обладать I-свойством в прямоугольнике R.

     В самом деле, функция F(x, y) ограничена в прямоугольнике R и все точки и линии разрыва этой функции либо совпадают с соответствующими разрывами f(x, y), либо лежат на границе Г области D. Поскольку Г имеет площадь нуль, теорема доказана.

     Следствие 1. Если функция f(x, y) ограничена в области D и имеет в этой области разрывы лишь на конечном числе спрямляемых линий, то f(x, y) интегрируема в области D.

     Следствие 2. Если функция f(x, y) интегрируема в области D, а g(x, y) ограничена и совпадает с f(x, y) всюду в D, за исключением множества точек площади нуль, то и g(x, y) интегрируема в области D.

     Определение двойного интеграла при помощи произвольных разбиений области

     Выше определили двойной интеграл, исходя из разбиения области прямыми линиями на конечное число частичных прямоугольников. В этом пункте сформулируем другое определение двойного интеграла, основанное на разбиении области D любыми кривыми площади нуль на конечное число частичных областей произвольного вида, и докажем, что это определение эквивалентно данному выше.

     Пусть D - замкнутая ограниченная область, имеющая границу Г площади нуль. Разобьем область D при помощи конечного числа произвольных кривых площади нуль на конечное число r (не обязательно связных!) замкнутых частичных областей D₁, D₂, ..., D_r.

     Заметим, что каждая область D_i квадрируема, т. к. граница ее имеет площадь нуль (см. пункт Площадь плоской фигуры) и обозначим символом ΔD_i площадь области D_i.

     В каждой частичной области D_i выберем произвольную точку P_i(ξ_i, η_i).

     Число

     (3)

называется интегральной суммой функции f(x, y), соответствующей данному разбиению области D на частичные области D_i и данному выбору промежуточных точек P_i в частичных областях.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-