решения некоторых задач

     Отметим, что в этом определении термин "многоугольник" можно заменить термином "элементарная фигура". Это следует из того, что любая элементарная фигура является многоугольником, а любой многоугольник с площадью, меньшей числа ε, содержится в элементарной фигуре, имеющей площадь, меньшую числа 8ε^*.

     Легко доказать следующее утверждение.

     Если Г имеет площадь нуль и если плоскость покрыта квадратной сеткой с шагом h, то для любого ε > 0 найдется h > 0 такое, что сумма площадей всех имеющих общие точки с Г квадратов меньше ε.

     В самом деле, для любого ε > 0 можно фиксировать некоторую элементарную фигуру Q, содержащую внутри себя Г и имеющую площадь, меньшую ε/4. После этого остается заметить, что при достаточно малом шаге квадратной сетки h все квадраты, имеющие общие с Г точки, содержатся в элементарной фигуре, получающейся заменой каждого прямоугольника Q вдвое большим прямоугольником с тем же центром. Подчеркнем, что класс кривых площади нуль весьма широк. Этому классу принадлежит, например, любая спрямляемая кривая (см. теорему).

     Перейдем теперь к определению двойного интеграла для произвольной двумерной области D.

     Пусть D - замкнутая ограниченная область, граница Г которой имеет площадь нуль, а f(x, y) - произвольная функция, определенная и ограниченная в области D.

     Обозначим через R любой прямоугольник (со сторонами параллельными координатным осям), содержащий область D (см. Рис. 2).

     Определим в прямоугольнике R следующую функцию:

     (2)

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-

^*   В самом деле: 1) многоугольник равен конечной сумме треугольников; 2) каждый треугольник равен сумме (или разности) двух прямоугольных треугольников; 3) прямоугольный треугольник содержится в прямоугольнике, вдвое большем по площади; 4) любой прямоугольник равен сумме конечного числа квадратов и одного прямоугольника, отношение сторон которого заключено между 1 и 2; 5) любой квадрат содержится во вдвое большем по площади квадрате со сторонами, параллельными осям Ox и Oy; 6) любой прямоугольник с отношением сторон, заключенным между 1 и 2, может быть дополнен до квадрата и потому содержится во вчетверо большем по площади квадрате со сторонами, параллельными осям Ox и Oy.