Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы / Определение и существование двойного интеграла / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

решения некоторых задач

     Обозначим через и точную верхнюю и точную нижнюю грани функции f(x, y) в частичной области D и введем в рассмотрение верхнюю и нижнюю суммы

     и     .

     Так как для любого разбиения

то достаточно доказать, что обе суммы и стремятся к I при .

     Требуется доказать, что для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что каждая из сумм и отклоняется от I меньше чем на ε как только .

     Фиксируем произвольное ε > 0. Для этого ε найдется разбиение T содержащего область D прямоугольника R на частичные прямоугольники Rk такое, что для него

     (4)

     Обозначим через M0 точную верхнюю грань |f(x, y)| в области D и заключим все отрезки прямых, производящих разбиение T, и границу Г области D внутрь элементарной фигуры, площадь которой меньше числа ε/(4M0).

     Тогда заведомо существует положительная точная нижняя грань δ расстояния между двумя точками, одна из которых принадлежит границе указанной элементарной фигуры, а другая - отрезкам прямых, производящих разбиение T, или границе Г области D*.


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   ___________________________________

*   В самом деле, рассмотрим два множества: 1) множество {P} всех точек границы указанной элементарной фигуры и 2) множество {Q} всех точек отрезков разбиения T и границы Г области D. Оба множества {P} и {Q} ограничены и замкнуты. Предположим, что точная нижняя грань δ расстояния ρ(P, Q) равна нулю. Тогда найдутся две последовательности точек {Pn} и {Qn} такие, что ρ(Pn, Qn) → 0. Из указанных последовательностей в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса можно выделить сходящиеся подпоследовательности и , пределы P и Q которых (в силу замкнутости) принадлежат соответственно {P} и {Q}. Но тогда ρ(P, Q) = 0, т. е. точки P и Q совпадают, что невозможно, т. к. множество {Q} лежит строго внутри элементарной фигуры и не имеет общих точек с {P}. Полученное противоречие доказывает положительность δ.



© 2006- 2022  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, циклоида ,

     Двойные интегралы: фундаментальная теорема, доказательство.