решения некоторых задач

     Обозначим через и точную верхнюю и точную нижнюю грани функции f(x, y) в частичной области D и введем в рассмотрение верхнюю и нижнюю суммы

     и     .

     Так как для любого разбиения

то достаточно доказать, что обе суммы и стремятся к I при .

     Требуется доказать, что для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что каждая из сумм и отклоняется от I меньше чем на ε как только .

     Фиксируем произвольное ε > 0. Для этого ε найдется разбиение T содержащего область D прямоугольника R на частичные прямоугольники R_k такое, что для него

     (4)

     Обозначим через M₀ точную верхнюю грань |f(x, y)| в области D и заключим все отрезки прямых, производящих разбиение T, и границу Г области D внутрь элементарной фигуры, площадь которой меньше числа ε/(4M₀).

     Тогда заведомо существует положительная точная нижняя грань δ расстояния между двумя точками, одна из которых принадлежит границе указанной элементарной фигуры, а другая - отрезкам прямых, производящих разбиение T, или границе Г области D^*.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-

^*   В самом деле, рассмотрим два множества: 1) множество {P} всех точек границы указанной элементарной фигуры и 2) множество {Q} всех точек отрезков разбиения T и границы Г области D. Оба множества {P} и {Q} ограничены и замкнуты. Предположим, что точная нижняя грань δ расстояния ρ(P, Q) равна нулю. Тогда найдутся две последовательности точек {P_n} и {Q_n} такие, что ρ(P_n, Q_n) → 0. Из указанных последовательностей в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса можно выделить сходящиеся подпоследовательности и , пределы P и Q которых (в силу замкнутости) принадлежат соответственно {P} и {Q}. Но тогда ρ(P, Q) = 0, т. е. точки P и Q совпадают, что невозможно, т. к. множество {Q} лежит строго внутри элементарной фигуры и не имеет общих точек с {P}. Полученное противоречие доказывает положительность δ.