Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы / Определение и существование двойного интеграла / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

решения некоторых задач

     Функцию f(x, y) будем называть интегрируемой в области D, если функция F(x, y) интегрируема в прямоугольнике R.

     При этом число назовем двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначим символом

     Замечание 1. Из этого определения сразу же вытекает, что интеграл равен площади области D. В самом деле, подвергая соответствующий прямоугольник R все более мелким разбиениям, получим, что верхние суммы этих разбиений будут равны площадям элементарных фигур, содержащих D, а нижние суммы - площадям элементарных фигур, содержащихся в D.

     Замечание 2. Пусть функция f(x, y) интегрируема в ограниченной квадрируемой области D, плоскость покрыта квадратной сеткой с шагом h, C1, C2, ..., Cn(h) - квадраты указанной сетки, целиком содержащиеся в области D, (ξk, ηk) - произвольная точка квадрата Ck, . Тогда каждая из сумм

имеет предел при h → 0, равный .

     Для доказательства достаточно заметить, что указанные суммы отличаются от обычной интегральной суммы (соответственно от нижней суммы) функции f(x, y) в области D только отсутствием слагаемых по квадратам, имеющим общие точки с границе Г области D, причем сумма всех отсутствующих слагаемых по модулю меньше произведения точной верхней грани M функции |f(x, y)| в области D на площадь S элементарной фигуры, состоящей из квадратов, имеющих общие точки с Г. Согласно доказанному выше утверждению S → 0 при h → 0.

     В отношении данного нами определения естественно возникает вопрос, зависит ли факт существования двойного интеграла и его величина I от 1) выбора на плоскости координатных осей Ox и Oy; 2) выбора прямоугольника R, на котором определяем функцию F(x, y).

     Далее дадим другое определение интегрируемости функции f(x, y) и двойного интеграла, не зависящее ни от выбора координатных осей, ни от выбора прямоугольника R, и докажем эквивалентность этого определения приведенному выше.

     Пока же укажем следующую основную теорему, почти непосредственно вытекающую из теоремы 3 и из данного выше определения.


решения некоторых задач


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-



© 2006- 2022  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, трапеция ,

     Определение и существование двойного интеграла.