Площадь плоской фигуры

     Понятие квадрируемости плоской фигуры. Площадь квадрируемой плоской фигуры

     Понятие площади плоской фигуры, являющейся многоугольником^*, известно из курса элементарной математики. В этом пункте введем понятие площади плоской фигуры Q - части плоскости, ограниченной простой замкнутой кривой L^**. При этом кривую L будем называть границей фигуры Q.

     Будем говорить, что многоугольник вписан в фигуру Q, если каждая точка этого многоугольника принадлежит фигуре Q или ее границе. Если все точки плоской фигуры и ее границы принадлежат некоторому многоугольнику, то будем говорить, что указанный многоугольник описан вокруг фигуры Q.

     Ясно, что площадь любого вписанного в фигуру Q многоугольника не больше площади любого описанного вокруг фигуры Q многоугольника.

     Пусть {S_i} - числовое множество площадей вписанных в плоскую фигуру Q многоугольников, а {S_d} - числовое множество площадей описанных вокруг фигуры Q многоугольников. Очевидно, множество {S_i} ограничено сверху (площадью любого описанного вокруг фигуры Q многоугольника), а множество {S_d} ограничено снизу (например, числом нуль). Обозначим через точную верхнюю грань множества {S_i}, а через - точную нижнюю грань множества {S_d}. Числа и называются соответственно нижней площадью и верхней площадью фигуры Q. Отметим, что нижняя площадь фигуры Q не больше верхней площади этой фигуры, т. е. . В самом деле, предположим, что верно противоположное неравенство . Тогда, полагая и учитывая определение точных граней, найдем такой вписанный в фигуру Q многоугольник, площадь S_i которого будет больше числа , т. е. , и такой описанный вокруг фигуры Q многоугольник, площадь S_d которого меньше числа , т. е. . Сопоставляя полученные два неравенства, найдем, что S_d < S_i, чего не может быть, так как площадь S_d любого описанного многоугольника не меньше площади S_i любого вписанного многоугольника.

     Введем понятие квадрируемости плоской фигуры.

-1-2-3-4-5-6-7-

^*   Многоугольником будем называть часть плоскости, ограниченную простой замкнутой ломаной линией.

^**   Отметим, что простая замкнутая плоская кривая L разделяет плоскость на две части - внутреннюю и внешнюю. Это утверждение было доказано французским математиком Жорданом (1838 - 1922).