Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Площадь плоской фигуры / 1 2 3 4 5 6 7

Площадь плоской фигуры

     Понятие квадрируемости плоской фигуры. Площадь квадрируемой плоской фигуры

     Понятие площади плоской фигуры, являющейся многоугольником*, известно из курса элементарной математики. В этом пункте введем понятие площади плоской фигуры Q - части плоскости, ограниченной простой замкнутой кривой L**. При этом кривую L будем называть границей фигуры Q.

     Будем говорить, что многоугольник вписан в фигуру Q, если каждая точка этого многоугольника принадлежит фигуре Q или ее границе. Если все точки плоской фигуры и ее границы принадлежат некоторому многоугольнику, то будем говорить, что указанный многоугольник описан вокруг фигуры Q.

     Ясно, что площадь любого вписанного в фигуру Q многоугольника не больше площади любого описанного вокруг фигуры Q многоугольника.

     Пусть {Si} - числовое множество площадей вписанных в плоскую фигуру Q многоугольников, а {Sd} - числовое множество площадей описанных вокруг фигуры Q многоугольников. Очевидно, множество {Si} ограничено сверху (площадью любого описанного вокруг фигуры Q многоугольника), а множество {Sd} ограничено снизу (например, числом нуль). Обозначим через точную верхнюю грань множества {Si}, а через - точную нижнюю грань множества {Sd}. Числа и называются соответственно нижней площадью и верхней площадью фигуры Q. Отметим, что нижняя площадь фигуры Q не больше верхней площади этой фигуры, т. е. . В самом деле, предположим, что верно противоположное неравенство . Тогда, полагая и учитывая определение точных граней, найдем такой вписанный в фигуру Q многоугольник, площадь Si которого будет больше числа , т. е. , и такой описанный вокруг фигуры Q многоугольник, площадь Sd которого меньше числа , т. е. . Сопоставляя полученные два неравенства, найдем, что Sd < Si, чего не может быть, так как площадь Sd любого описанного многоугольника не меньше площади Si любого вписанного многоугольника.

     Введем понятие квадрируемости плоской фигуры.


-1-2-3-4-5-6-7-


   ___________________________________

*   Многоугольником будем называть часть плоскости, ограниченную простой замкнутой ломаной линией.

**   Отметим, что простая замкнутая плоская кривая L разделяет плоскость на две части - внутреннюю и внешнюю. Это утверждение было доказано французским математиком Жорданом (1838 - 1922).



© 2006- 2021  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, пропорции ,

     Понятие квадрируемости плоской фигуры, площадь квадрируемой плоской фигуры. Нижняя и верхняя площадь фигуры, многоугольник.