Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Верхние и нижние суммы / 1 2 3 4 5

     Свойства верхних и нижних сумм

     Докажем справедливость следующих свойств верхних и нижних сумм:

     . Для любого фиксированного разбиения T и для любого ε > 0 промежуточные точки ξi на сегментах [xi-1, xi] можно выбрать так, что интегральная сумма I{xi, ξi} будет удовлетворять неравенствам 0 ≤ S - I{xi, ξi} < ε. Точки ξi можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам 0 ≤ I{xi, ξi} - s < ε.

     Пусть T - некоторое фиксированное разбиение сегмента [a, b]. Докажем, например, возможность выбора по данному ε > 0 точек ξi так, что будет выполняться неравенство 0 ≤ S - I{xi, ξi} < ε. По определению точной грани Mi для данного ε > 0 на сегменте [xi-1, xi] можно указать такую точку ξi, что

0 ≤ Mi - f(ξi) < ε/(b - a),     i = 1, 2, ..., n.

Умножая эти неравенства на Δxi и затем складывая, получим

0 ≤ S - I{xi, ξi} < ε.

Справедливость свойства 1° установлена.

     . Если разбиение T' сегмента [a, b] получено путем добавления новых точек к точкам разбиения T этого сегмента, то верхняя сумма S' разбиения T' не больше верхней суммы S разбиения T, а нижняя сумма s' разбиения T' не меньше нижней суммы s разбиения T, т. е.

ss',     SS'.

Так как разбиение T' может быть получено из разбиения T путем последовательного добавления к последнему новых точек, то, очевидно, сформулированное свойство достаточно доказать для случая, когда к разбиению T добавляется одна точка. Пусть эта точка x' располагается на сегменте [xi-1, xi] разбиения T сегмента [a, b]. Обозначим через и точные верхние грани функции f(x) на сегментах [xi-1, x'] и [x', xi], через и длины этих сегментов и через S и S' верхние суммы разбиения T и разбиения T', полученного добавлением к разбиению T точки x'. Отметим, что . Кроме того, если Mi - точная верхняя грань значений функции f(x) на сегменте [xi-1, xi], то и , поскольку очевидно, что точная верхняя грань функции на части сегмента [xi-1, xi] не превосходит точную верхнюю грань Mi этой функции на всем сегменте [xi-1, xi]. Поэтому, учитывая, что суммы S и S' различаются лишь слагаемыми MiΔxi и , получим

т. е. S'S. Доказательство для нижних сумм проводится аналогично.


-1-2-3-4-5-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, гомотетия , сегмент

     Свойства верхних и нижних сумм.