Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Верхние и нижние суммы / 1 2 3 4 5

Верхние и нижние суммы

     Понятие верхней и нижней сумм

     Пусть функция f(x) ограничена на сегменте [a, b] и T - разбиение этого сегмента точками a = x0 < x1 < ... < xn = b. Обозначим через Mi и mi соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте [xi-1, xi]. Суммы

и

называются соответственно верхней и нижней суммами функции f(x) для данного разбиения T сегмента [a, b].

     Очевидно, что любая интегральная сумма I{xi, ξi} данного разбиения T сегмента [a, b] заключена между верхней и нижней суммами S и s этого разбиения.

     Понятия верхней и нижней сумм становятся особенно ясными, если обратиться к геометрическим представлениям. Для простоты рассмотрим положительную и непрерывную функцию f(x) и криволинейную трапецию, определяемую этой функцией (см. Рис. 1. и Рис. 2.).

          

Если T - некоторое разбиение сегмента [a, b], то числа Mi и mi представляют собой в случае непрерывной функции f(x) максимальное и минимальное значения этой функции на частичном сегменте [xi-1, xi] разбиения T. Поэтому верхняя сумма S равна площади, заштрихованной на Рис. 1. ступенчатой фигуры, которая содержит криволинейную трапецию, а нижняя сумма s равна площади, заштрихованной на Рис. 2. ступенчатой фигуры, которая содержится в криволинейной трапеции (эта трапеция на рисунках 1 и 2 обведена жирной линией).

     Как уже говорилось, из наглядных геометрических представлений вытекает, что интеграл численно равен площади криволинейной трапеции. С другой стороны, очевидно, что если разность между верхними и нижними суммами может быть сделана как угодно малой, то эти суммы могут стать как угодно близкими к площади криволинейной трапеции. Поэтому можно ожидать, что для интегрируемости функции необходимо и достаточно, чтобы разность между верхней и нижней суммами могла быть как угодно малой.


-1-2-3-4-5-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, кардиоида , свертка

     Понятие верхней и нижней сумм.