Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Верхние и нижние суммы / 1 2 3 4 5

Обозначим через p число точек разбиения T*, лежащих строго внутри сегмента [a, b]. Пусть T - любое разбиение сегмента [a, b], максимальная длина Δ частичных сегментов которого подчинена условию

     (2)

и S - верхняя сумма этого разбиения. Добавим к этому разбиению внутренние точки разбиения T*. В результате получим разбиение T', верхняя сумма S' которого в силу свойства 5° и условия (2) для Δ удовлетворяет неравенству

0 ≤ S - S' ≤ (M - m)pΔ < ε/2.     (3)

С другой стороны, это разбиение T' можно рассматривать как разбиение, полученное в результате добавления к разбиению T* внутренних точек разбиения T. Поэтому, в силу свойства 2°,

Отсюда следует, что , т. е., согласно неравенству (1),

Складывая это неравенство с неравенством (3), получим

     (4)

Таким образом, установили, что для любого данного ε > 0 можно указать такое δ > 0 (можно, например, положить ), что верхние суммы S разбиений T сегмента [a, b], для которых максимальная длина Δ (см. (2)), удовлетворяют неравенству (4). Но это означает, что верхний интеграл Дарбу является пределом верхних сумм. Для нижних сумм доказательство аналогично. Лемма Дарбу доказана.


-1-2-3-4-5-



© 2006- 2019  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, лемниската , скаляр

     Доказательство леммы Дарбу.