Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Некоторые классы интегрируемых функций / 1 2 3 4 5 6 7

     Интегрируемость некоторых разрывных функций

     Будем говорить, что точка x покрыта интервалом, если эта точка принадлежит указанному интервалу. Докажем следующую теорему.

     Теорема. Если функция f(x) определена и ограничена на сегменте [a, b] и если для любого положительного числа ε можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции и имеющих общую сумму длин меньше ε, то f(x) интегрируема на сегменте [a, b].

     Доказательство. Пусть дано любое ε > 0. Покроем точки разрыва функции f(x) конечным числом интервалов, сумма длин которых меньше , где M и m - точные верхняя и нижняя грани f(x) на сегменте [a, b] (случай M = m можно исключить, так как тогда f(x) ≡ c ≡ const). Точки сегмента, не принадлежащие указанным интервалам, образуют множество, состоящее из конечного числа непересекающихся сегментов. На каждом из них функция f(x) непрерывна и поэтому равномерно непрерывна. Разобъем каждый такой сегмент так, чтобы колебание ωi функции f(x) на любом частичном сегменте разбиения было меньше . Объединяя эти разбиения и интервалы, покрывающие точки разрыва функции f(x), получим разбиение T всего сегмента [a, b]. Для этого разбиения слагаемые суммы (равной S - s) разделяются на две группы и , причем в первую группу входят все слагаемые, отвечающие частям разбиения T, образованным из интервалов, покрывающих точки разрыва, а во вторую - остальные слагаемые. Так как колебания ωi = Mi - mi для слагаемых первой группы удовлетворяют неравенству ωiM - m, то

Для слагаемых второй группы . Поэтому

Таким образом,

Итак, для указанной в условии теоремы функции f(x) выполнены достаточные условия интегрируемости. Теорема доказана.


-1-2-3-4-5-6-7-



© 2006- 2022  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, парабола , ФКП

     Некоторые классы интегрируемых функций.