6. Следствие. Любая вещественная симметричная или комплексная эрмитова матрица имеет вещественный спектр и диагонализируема.

Доказательство. Построим по матрице A самосопряженный оператор в координатном пространстве Rⁿ или Сⁿ с канонической евклидовой или унитарной метрикой и применим теорему п. 5. Из нее видно даже больше: матрицу X такую, что X ^-1AX диагональна, можно найти в O(n) или в U(n) соответственно.

7. Следствие. Отображение сюръективно.

Доказательство. Алгебра Ли u(n) состоит из антиэрмитовых матриц, а любая антиэрмитова матрица имеет вид iA, где A - эрмитова матрица. Чтобы решить относительно A уравнение exp(iA) = U, где , реализуем U как унитарный оператор f в эрмитовом координатном пространстве Cⁿ. После этого по теореме п. 4 найдем в Cⁿ новый ортонормированнай базис {e₁, ..., e_n, в котором матрица оператора f имеет вид diag , зададим в этом базисе оператор g матрицей diag и обозначим через A матрицу оператора g в исходном базисе. Очевидно, exp(ig) = f и exp(iA) = U.

8. Следствие. а) Пусть g₁, g₂ - две ортогональные или эрмитовы формы в конечномерном пространстве L, и одна из них, скажем g₁, положительно определена. Тогда в пространстве L существует базис, матрица Грама которого относительно g₁ единична, а относительно g₂ диагональна и вещественна.

б) Пусть g₁, g₂ - две вещественные симметричные или комплексные эрмитово симметричные формы относительно переменных x₁, ..., x_n; y₁, ..., y_n, и g₁ положительно определена.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-