Тогда с помощью невырожденной линейной замены переменных (общей для и ) эти две формы можно привести к виду

или

Доказательство. Очевидно, обе формулировки эквивалентны. Чтобы доказать их, рассмотрим (L, g₁) как ортогональное или унитарное пространство, переобозначим g₁(l₁, l₂) через (l₁, l₂) и представим g₂(l₁, l₂) в виде (l₁, l₂)_f, где - некоторый самосопряженный оператор, как это было сделано в п. 4. После этого найдем ортонормированный базис в L, в котором f диагонализируется. По замечанию в конце п. 4 этот базис будет удовлетворять требованиям следствия (точнее, утверждения а)).

9. Ортогональные проекторы. Пусть L - линейное пространство над и пусть дано его разложение в прямую сумму: . Как было показано в части Линейные пространства и линейные отображения, оно определяет два проектора таких, что Im p_i = L_i, id_L = p₁ + p₂, p₁p₂ = p₂p₁ = 0, . собственные значения проекторов равны 0 или 1.

Если L - евклидово или унитарное пространство и , то соответствующие ортогональные проекторы диагонализируются в ортонормированном базисе L - объединении таких базисов L₁ и L₂ - и потому самосопряжены. Наоборот, любой самосопряженный проектор p есть оператор ортогонального проектирования на подпространство. Действительно, Ker p и Im p натянуты на собственные векторы p, отвечающие собственным значениям 0 и 1 соответственно, так что Ker p и Im p ортогональны по теореме п. 5 и .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-