Операторы со свойством f^* = f в евклидовых и конечномерных унитарных пространствах называются самосопряженными, в евклидовом случае - также симметричными, а в унитарном - эрмитовыми. Эта терминология объясняется следующим простым замечанием.

3. Предложение. Если оператор в ортонормированном базисе задается матрицей A, то оператор f^* задается в этом же базисе матрицей A^t (евклидов случай) или (унитарный случай).

В частности, оператор самосопряжен тогда и только тогда, когда его матрица в ортонормированном базисе симметрична или эрмитова.

Доказательство. Обозначая скалярное произведение в L скобками, а векторы - столбцами их координат в ортонормированном базисе, имеем

(евклидов случай). Отсюда и следует, что матрица f^* равна A^t. Унитарный случай разбирается аналогично.

4. Самосопряженные операторы и скалярные произведения. Пусть L - пространство с симметричным или эрмитовым скалярным произведением ( , ). Для любого линейного оператора можем определить новое скалярное произведение ( , )_f на L, положив

(l₁, l₂)_f = (f(l₁), l₂).

Предположим, что L невырождено, так что можем пользоваться понятием сопряженного оператора. Тогда

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-