Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
• Линейные пространства и линейные отображения
• Геометрия пространств со скалярным произведением
• Аффинная и проективная геометрия
Геометрия пространств со скалярным произведением / Самосопряженные операторы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Самосопряженные операторы1. В части Линейные пространства и линейные отображения мы видели, что простейший и наиболее важный класс линейных операторов образуют диагонализируемые операторы. Оказывается, что в евклидовых и унитарных пространствах совершенно особую роль играют операторы с вещественным спектром, диагонализируемые в некотором ортонормированном базисе. Иными словами, эти операторы осуществляют вещественные растяжения пространства вдоль системы попарно ортогональных направлений. Пусть {e1, ..., en - ортонормированный базис в L и (f(l1), l2) = (l1, f(l2)) для всех Действительно,
(в унитарном случае вещественность -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14- |
- оператор, для которого 
, i = 1, ..., n. Нетрудно убедиться, что он обладает следующим простым свойством:
. (1)
или 
,
или 
использовалась во второй формуле). Операторы со свойством (1) называются самосопряженными, и мы установили, что операторы с вещественным спектром, диагонализируемые в ортонормированном базисе, самосопряжены. Вскоре докажем и обратное утверждение, но сначала исследуем свойство самосопряженности более систематично.