откуда , т. к. . Ортогональный случай сводится к унитарному следующим приемом: рассмотрим комплексифицированное пространство L^C и введем на нем полуторалинейное скалярное произведение по формуле

(l₁ + il₂, l₃ + il₄) = (l₁, l₃) + (l₂, l₄) + i(l₂, l₃) - i(l₁, l₄).

Легкая прямая проверка показывает, что L^C превращается в унитарное пространство, а f^C - в эрмитов оператор на нем. Спектр оператора f^C совпадает со спектром оператора f, т. к. в любом R-базисе L, являющемся в то же время C-базисом L^C, f и f^C задаются одинаковыми матрицами. Поэтому спектр оператора f вещественен.

Дальше оба случая можно рассматривать параллельно и провести индукцию по dim L. Случай dim L = 1 тривиален. При dim L > 1 выберем собственное значение и отвечающее ему собственное подпространство L₀, затем положим . По предложению п. 2 имеем . Подпространство L₁ инвариантно относительно f, потому что если и , т. е. (l₀, l) = 0, то

так что . По индуктивному предположению ограничение f на L₁ диагонализируется в ортонормированном базисе L₁. Добавив к нему вектор , получим требуемый базис в L.

б) Пусть . Тогда

откуда следует, что если , то (l₁, l₂) = 0.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-