Разумеется, самосопряженность на этом пространстве можно было бы проверить и непосредственным интегрированием по частям: член типа пропадет здесь из-за множителя x² - 1 в коэффициентах оператора. Тогда из результатов этого пункта и теоремы п. 4 получается другое доказательство попарной ортогональности многочленов Лежандра.

в) Многочлен Эрмита есть собственный вектор с собственным значением -2n оператора

Функция является собственным вектором оператора

с собственным значением -(2n + 1).

Первое утверждение проверяется прямой индукцией по n, которую мы опускаем. Для доказательства второго утверждения рассмотрим вспомогательный оператор

Легко проверить, что

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-