11. Нормальные операторы. Как унитарные, так и самосопряженные операторы в унитарном пространстве являются частным случаем нормальных операторов, которые можно описать двумя равносильными свойствами:

а) Это операторы, диагонализируемые в ортонормированном базисе.

б) Это операторы, коммутирующие со своим сопряженным оператором.

Проверим равносильность.

Если {e_i - ортонормированный базис с , то , так что [f, f^*] = 0, и из а) следует б).

Для доказательства обратной импликации выберем собственное значение оператора f и положим

Проверим, что . В самом деле, если , то

поскольку ff^* = f^*f. Отсюда вытекает, что пространство f-инвариантно: если (l, l₀) = 0 для всех , то

(f(l), l₀) = (l, f^*(l₀)) = 0.

Такое же рассуждение показывает, что f^*-инвариантно. Ограничения f и f^* на , очевидно, коммутируют. Применяя индукцию по размерности L, можем считать, что на f диагонализируется в ортонормированном базисе. Так как то же верно для , это завершает доказательство.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-