2. Сопряженные операторы в пространствах с билинейной формой. В части Линейные пространства и линейные отображения показали, что для любого линейного отображения существует единственное линейное отображение , для которого

(f^*(m^*), l) = (m^*, f(l)),

где и где скобки означают канонические билинейные отображения .

В частности, при M = L оператору отвечает оператор . Предположим теперь, что на L имеется невырожденная билинейная форма , определяющая изоморфизм . Тогда, отождествив L^* с L посредством , можем рассмотреть f^*, точнее , как оператор на L. По-прежнему будем обозначать его f^* (точнее было бы писать, например, но f^* в старом смысле в этом разделе больше не будет фигурировать). Очевидно, новый оператор f^* однозначно определяется формулой

g(f^*(l), m) = g(l, f(m)).

Он по-прежнему называется сопряженным с f (относительно скалярного произведения g).

В полуторалинейном случае определяет изоморфизм L с , а не с L^*. Поэтому на L с помощью этого изоморфизма следует переносить оператор , который определяется как . Перенесенный оператор линеен. Следовало бы обозначить его f⁺, но сохраним более традиционное обозначение f^*. Тогда и в полуторалинейном случае будет справедлива формула

g(f^*(l), m) = g(l, f(m)).

Операция линейна, если g билинейна, и антилинейна, если g полуторалинейна.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-