Далее, если самосопряженный оператор f диагонализируется в ортонормированном базисе и p_i - ортогональный проектор L на подпространство, натянутое на e_i, то

     (2)

Эта формула называется спектральным разложением оператора f.

Можно считать, что пробегает только попарно различные собственные значения, а p_i есть оператор ортогонального проектирования на полное корневое подпространство ; формула (2) останется верной.

Теорема п. 5 обобщается также на ограниченные по норме (и, с осложнениями, на неограниченные) самосопряженные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Однако это обобщение требует очень нетривиального изменения некоторых основных понятий. Главные проблемы связаны со структурой спектра: в конечномерном случае является собственным значением f тогда и только тогда, когда оператор id - f необратим, тогда как в бесконечномерном случае множество точек необратимости оператора id - f может быть больше множества собственных значений f: для неизолированных в спектре точек собственных векторов, вообще говоря, нет. С другой стороны, именно множество точек необратимости оператора id - f служит правильным обобщением спектра в бесконечномерном случае. Эта нехватка собственных векторов требует изменения многих формулировок. Основной результат является обобщением формулы (2), где, однако, суммирование заменяется интегрированием.

Ограничимся описанием нескольких важных принципов на примерах, где эти затруднения не возникают.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-