в евклидовом случае, и аналогично

в унитарном. Следовательно, если оператор f самосопряжен, то построенная по нему новая метрика (l₁, l₂)_f будет по-прежнему симметричной или эрмитовой. Верно и обратное, как нетрудно убедиться прямо или с помощью предложения п. 3.

Таким образом, установили биекцию между множествами самосопряженных операторов, с одной стороны, и симметричных скалярных произведений в пространстве, где одно невырожденное скалярное произведение задано, - с другой. В евклидовом и унитарном случае после выбора ортонормированного базиса соответствие легко описывается на матричном языке: матрица Грама ( , )_f транспонирована к матрице отображения f.

Теперь докажем основную теорему о самосопряженных операторах, параллельную теореме п. 4 об ортогональных и унитарных операторах и тесно с ней связанную.

5. Теорема. а) Для того чтобы оператор f в конечномерном евклидовом или унитарном пространстве был самосопряжен, необходимо и достаточно, чтобы он диагонализировался в ортонормированном базисе и имел вещественный спектр.

б) Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. а) Достаточность провели в начале этого раздела. Вещественность спектра в унитарном случае устанавливается просто: пусть - собственное значение оператора - соответствующий собственный вектор. Тогда

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-