Формула (3) определяет операцию (формального) сопряжения дифференциальных операторов: . Оператор D называется (формально) самосопряженным, если D = D^*. Слово "формальный" здесь напоминает о том, что в определении не указано явно пространство, на котором D реализуется как линейный оператор.

Если скалярное произведение определяется с помощью веса G(x):

то очевидные вычисления показывают, что вместо D^* следует рассматривать оператор (считая, что G не обращается в нуль); именно он является кандидатом на роль сопряженного оператора к D относительно (f, g)_G.

Покажем, что ортогональные системы функций, рассмотренные в разделе Алгоритм ортогонализации и ортогональные многочлены, состоят из собственных функций самосопряженных дифференциальных операторов.

а) Вещественные многочлены Фурье степени . Оператор , формально самосопряженный, переводит это пространство в себя и самосопряжен на нем. Кроме того, его собственные значения равны 0 (кратность 1) и -1², -2², ..., - N² (кратность 2). Соответствующие собственные векторы суть 1 и .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-